Lösning på adventsproblemet den 3 dec




2178.

Hej abcd!
Eftersom du är fyrsiffrig och det är även din syster dcba som är 4 gånger så stor så måste du ligga mellan 1000 och 2499, alltså a är 1 eller 2. Men a måste vara jämn eftersom det är din systers sista siffra och hon är ju delbar med 4 alltså a=2. Du är minst 2000, dcba minst 8000 alltså d kan bara vara 8 eller 9. Men din sista siffra d kan inte vara 9 för då systerns sista (a) skulle vara 6 och inte 2. Nu vet jag att a=2 och d=8, därmed 2bc8 * 4 = 8cb2 dvs. (2008 + 10 * bc) * 4 = 8002 + 10 * cb
Med lite algebra får vi 3 + bc * 4 = cb , alltså b kan inte vara större än 2 .
Men 3 + bc * 4 är ett udda tal, alltså cb är udda, alltså b är udda alltså b=1.
Nu har vi 3 + 1c * 4 = c1 vilket betyder 3 + (10 + c ) * 4 = 10 * c + 1 och med lite algebra igen får vi c = 7.

Nu vet jag allt om dig 2178. Det stämmer att alla dina siffror är olika. Jag behövde inte använda den upplysningen.

Vi har fått inskickat en lösning till problemet, se nedan. Har du någon annan lösning?

Vi kallar siffrorna i det fyrsiffriga talet A, B, C och D.
A måste vara 1 eller 2. Detta för att det fyrdubbla värdet måste ha fyra siffror.

Om vi testar med siffran 1 för A så måste D vara mellan 4 och 7 (1000 * 4 = 4000, 1987 * 4 = 7948).

Vidare måste vi kunna multiplicera D med 4 och få dess entalssiffra till 1 (som A är). Men:

4 * 4 = 16, dvs entalssiffran är 6
5 * 4 = 20, dvs 0
6 * 4 = 24, dvs 4
7 * 4 = 28, dvs 8

Därför kan inte A = 1, då måste alltså A = 2.

Då gör vi samma uträkning för D en gång till, denna gången med A = 2.

D måste vara 8 eller 9 (2000 * 4 = 8000, 2500 * 4 = 9996)

Då tester vi att multiplicera D med 4 med de giltliga värden D kan ha. Dess entalssiffra skall vara 2 (=A):

8 * 4 = 32, entalssiffran blir 2
9 * 4 = 36 entalssiffran blir 6

Alltså måste D = 8.

Då har vi klart att A = 2, D = 8 (2BC8)

Om vi nu antar att B = 3, så skulle det fyrdubbla värdet vara minst (2300 * 4=) 9200, men eftersom D = 8, så måste B vara en lägre siffra. Men 2 är redan upptagen av A, så då måste B = 1 eller B = 0. (20C8 eller 21C8)

Om vi antar att B = 0, så blir det fyrdubbla värdet som minst 2018 * 4 = 8072, vilket är för lågt (baklänges DCBA=8102), samma gäller det högsta möjliga värdet 2098 * 4 = 8392, vilket är för lågt, borde vara 8902. (Man kan också testa alla värden av C 2018->2098 där inget ger B = 0 vid multiplicering med 4.) Alla värden blir alltså för små. Då måste B = 1. Då har vi 21C8.

Då kan vi enkelt räkna ut att C = 7, 2178 * 4 = 8712