Omslagsbilden: Cikador

Nämnaren nr 3, 2008
 

Omslagsbilden: Cikador

Bilden på framsidan föreställer en cikada. Just detta exemplar är från Kroatien och vet förmodligen ingenting om primtal. I Nordamerika däremot, finns ett antal varianter på den så kallade Magicicadan som har en märklig relation till primtalet 17 eller 13.

En cikadas liv börjar som ett ägg fäst i en liten skåra i ett träd. När ägget kläcks kryper nymfen ut och faller till marken där den genast gräver ned sig på ett djup mellan 30 cm och 2,5 meter. Nymfen lever sedan under jord, vanligtvis i två eller fem år där den livnär sig på vätska från rötter. Därefter bygger den en tunnel upp till markytan, tar sig upp i ett träd eller en buske. Där ömsar den skal för sista gången och väntar en knapp vecka tills det att skalet hårdnat. Därefter lockar hanarna till sig honor med den karakteristiska cikadasången som kan vara närmast öronbedövande. Efter parningen gör honan skåror i grenar på unga träd där hon lägger ägg. Kort därefter dör de vuxna cikadorna och deras liv ovan jord sträcker sig endast över ett fåtal veckor.

Men hur var det med Magicicadan och primtalen då? Jo, Magicicadan, som finns i ett antal lokala varianter i Nordamerika har ett par intressanta egenheter. För det första synkroniserar alla exemplar inom ett och samma område sin tid ovan jord. Det finns alltså vissa år som det finns cikador att se och höra, medan det de flesta åren endast går att hitta dem under jord. Men detta är inte lika märkligt som den jämfört med andra cikador mycket långa tid som dessa varianter tillbringar under jord, vilket beroende på variant är antingen 13 eller 17 år. Två primtal. En slump?

Teorierna om varför Magicicadan beter sig som den gör går huvudsakligen ut på det faktum att den synkroniserar sig och uppkommer ett fåtal år fast då i stora mängder och att detta är en överlevnadsstrategi. Det enorma antalet överväldigar helt enkelt de predatorer som vill äta Magicicadan. Teorierna för att förklara att det just är ett primtal antal år bygger på en predator som nu kan vara utdöd men som levde på bland annat Magicicadan. Genom att ha en period som var en delare till cikadans period skulle dessa predatorer träffa på cikadan varje gång den senare dök upp. En predator med 3-årig livscykel skulle t ex aldrig missa en cikada med 12-årig livscykel.
Men när cikadan har en livscykel som är ett primtal antal år så träffar den endast på predatorn mycket sällan såtillvida inte predatorn har exakt samma period och är synkroniserad med cikadan. Detta beror just på att primtalen är de tal som inte har några delare annat än 1 och sig själv. En predator med en livscykel på 3 år och en cikada med en livscykel på 17 år som träffas i år kommer sedan inte träffas förrän efter 3 · 17 = 51 år.

Teorierna om Magicicadans primtalslivscykel går ut på att det kan ha varit en lång, mycket kall period som först skapade en lång livscykel och att denna alltså sedan evolutionärt optimerats till ett primtal för att undvika predatorer.
Magicicadan och teorier om dess livscykel har också varit föremål för filosofiska diskussioner. Inom filosofin har det under mycket lång tid argumenterats om huruvida matematiska objekt existerar eller ej. Quine och Putnam har lagt fram följande argument: Om matematiska objekt är oersättliga i mänsklighetens bästa teorier för att beskriva världen (t ex fysiken) så är det rimligt att säga att de matematiska objekten existerar i samma mening som de strikt fysiska objekten i denna teori. Pi, en cirkel eller en fyrdimensionell kub skulle därmed existera i samma mening som en planet, en atom eller svarta hål. Hartry Field har dock presenterat en teori för ett område i fysiken som är uppbyggd helt utan matematik och vänder därmed Quine och Putnams argument mot dem själva. Fields konstruktion har dock kritiserats och ett flertal komplicerade exempel på teorier inom fysiken som rimligen inte kan klara sig utan matematik har presenterats. Och det är där Magicicadan kommer in igen. Alan Baker har nämligen gjort en filosofisk analys av teorierna om Magicicadan och menar att just dessa faktiskt är ett exempel på när matematikens objekt är oundgängliga i förklaringen.

Men det bekymrar sig nog inte The Great Eastern-varianten av Magicicadan om när den år 2021 dyker upp nästa gång i trakten av New York.

Ola Helenius